Александр Никишин родился 2 октября 2001 года в городе Орле. Увлечение хоккеем передалось от отца, который, будучи боксером, играл в любительской хоккейной лиге. В три года Александр встал на коньки, а в четыре занялся хоккеем. Участвовал в чемпионате России за Орел. Первый тренер - Владимир Леонидович Строев.

В 2011-м году начал выступать за Мытищенский «Атлант». После продолжил тренироваться в СДЮШОР ЦСКА имени Валерия Харламова, в составе которой стал чемпионом России среди юниоров.

Профессиональную карьеру начал в 2018 году в МХЛ(молодежная хоккейная лига) в составе клуба «Крылья Советов». В 2019 году принимал участие в в предсезонном турнире в составе Воскресенского «Химика».

В 2019 году подписал контракт с московским «Спартаком», где выступает под номером 57. В первом же сезоне провел 32 игры и принял участие в плей-офф.

В 2021 году играл в составе сборной России в матчах Евротура.

В 2022 году попал в расширенный список сборной России на Олимпиаду в Пекине.

На Олимпиаде в Пекине 2022 года (правда в составе какой-то сборной ROC) завоевал серебро.

2022 год Александр Никишин переходит в СКА. В «СКА» орловец будет выступать под номером «21». В «Спартаке» он носил «57» номер, но он занят в петербургском клубе.